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   "text": "信号变换示例：傅里叶 · 卷积 · 小波。示例图是经典的 cameraman（512×512，scikit-image 自带、公有领域），"
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   "text": "随程序一起放在 samples/ 下，打开本示例时自动载入，直接 img := imread(\"sample-cameraman.png\") 就能用。"
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   "text": "一、一维傅里叶变换：把复合信号拆回成分"
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   "text": "复合信号 = 三个频率的正弦叠加。采样率 fs = 128 Hz，取 N = 128 个点（正好 1 秒）："
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   "text": "三个成分：5 Hz（幅度 1）、20 Hz（幅度 0.5）、50 Hz（幅度 0.3）："
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   "text": "时域里三条曲线搅在一起，看不出谁是谁："
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   "text": "fft 一眼看清：5 / 20 / 50 Hz 三个尖峰，峰高 = N/2 × 幅度（64 / 32 / 19.2）。"
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   "latex": "",
   "text": "plot 只给 y 时，横轴是**点序号 0,1,2…**。但频谱图的横轴应该是**频率**（Hz），所以先定义频率轴 fhz:=0, 1 .. N/2，再 plot(mag, fhz) 把数据画在频率上——这样读峰才是真的 Hz 数。"
  },
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   "text": "二、二维傅里叶：图像的频谱与频率域滤波"
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   "text": "图像也能做傅里叶：低频在中心（轮廓和大块明暗），高频在四周（边缘和细节）。"
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   "text": "fftspec 出的频谱做了 fftshift + log(1+|F|) + 归一化——中心那道亮十字就是图像的方向性能量："
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   "text": "频率域滤波 = 在频谱上挖一个圆再反变换回图像。\"low\" 保留圆内低频 → 模糊；"
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   "text": "\"high\" 只留圆外高频 → 只剩边缘。第三个参数是半径占短边的比例："
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   "text": "三、卷积：一个核决定一种效果"
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   "text": "卷积 = 核在图上滑动做加权求和，核是什么样，输出就是什么效果——这是图像处理最基本的一层。"
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   "text": "conv2 用 FFT 加速，512×512 的图也是瞬间出。均值核 → 模糊（每个点换成 3×3 邻域的平均）："
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   "text": "拉普拉斯核 → 只剩边缘（平坦区 4 邻域加自己 −4，互相抵消为 0）："
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   "text": "锐化核 = 原图 + 边缘（中心 5 = 自己 1 份 + 边缘 4 份）："
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   "text": "一维同理：给信号做滑动平均，就是和 (1/3)(1,1,1) 做卷积——5 Hz 还在，20/50 Hz 被抹平了大半："
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   "text": "四、小波变换：能同时看\"什么时候\"和\"什么频率\"的数学显微镜",
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   "text": "傅里叶只回答\"信号里**有哪些频率**\"，答不了\"**什么时候出现**\"。先造一个**频率随时间升高**的扫频信号（chirp）：起始 2 Hz，1 秒内均匀升到 14 Hz：",
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   "text": "时域一眼就懂：波形越来越密 = 频率在升高（emul(t,t) 是逐元素相乘，算出 t²）：",
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   "latex": "",
   "text": "但 fft 只能说\"2~14 Hz 的成分**都存在**\"——频谱是一片宽包，完全看不出**哪一段是高频**：",
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   "latex": "plot(fhz, magc)",
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   "latex": "",
   "text": "小波按**尺度**分解：haar(v) 一层给出两条曲线——近似（相邻两点求平均）与细节（相邻两点求差）：",
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   "latex": "plot(wc)",
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   "latex": "",
   "text": "细节曲线在**波形变密的地方**出现大值——每个细节点对应一小段时间，所以它同时携带\"何时\"与\"多快\"。fft 的峰只会说\"有这些频率\"，小波的细节会说\"**后半段**频率高\"。这就是\"数学显微镜\"的含义：",
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   "text": "ihaar 一丝不差还原原信号（分解 + 反演无损）：",
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   "text": "二维小波把图像拆成四块子带（与原图同尺寸）：左上 = 近似轮廓，右上 / 左下 / 右下 = 水平 / 垂直 / 对角细节：",
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  {
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   "latex": "",
   "text": "系数大多在 0 附近，**直接 imshow 是一片黑**——先 imnorm 做对比度拉伸（min-max 归一化到 0–1）才能看清：",
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   "text": "ihaar2 精确重建（误差为 0）：",
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   "latex": "",
   "text": "五、余弦变换（DCT）：能量打包——压缩的根基",
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   "kind": "text",
   "latex": "",
   "text": "dct 是傅里叶的\"实数版\"：把信号展开成一堆余弦波。它的拿手好戏是**能量集中**——信号的信息挤进前面少数几个系数。看扫频信号的 DCT 系数：",
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   "text": "前几十个系数之外几乎全是 0。idct 精确还原（dct → idct 无损往返）：",
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   "text": "压缩演示：做一个 0/1 掩码，只保留**前 30 个系数**（不到 1/4 的数据），再重建——",
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   "text": "波形几乎没变（差别只是细小的毛刺）。JPEG 压缩图像用的就是同一招：DCT → 丢掉小系数 → 反变换。emul 是逐元素相乘（不是矩阵乘法），专门用来加窗、加掩码：",
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   "text": "小结：fft / fft2 看频率成分，specfilt 在频率域做滤波，conv2 用核改变图像，haar / haar2 拆出\"轮廓 + 细节\"，dct / idct 把能量打包（压缩的根基），emul 逐元素相乘（加窗 / 掩码），imnorm 对比度拉伸。全部算子都能对着帮助（F1）里的「信号与随机」一组查。",
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